Полугруппа: определение, значение, синонимы, предложения

Полугруппа - определение, значение, синонимы, антонимы

Источник: Викисловарь

Полугруппа в общей алгебре — множество с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией ( S , ⋅ ) {displaystyle (S,cdot )} . Существуют разногласия по поводу того, нужно ли включать требование непустоты в определение полугруппы; отдельные авторы даже настаивают на необходимости наличия нейтрального элемента («единицы»). Однако более общепринятым является подход, согласно которому полугруппа не обязательно является непустой и не обязательно содержит нейтральный элемент. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом; любую полугруппу S {displaystyle S} , не содержащую нейтральный элемент, можно превратить в моноид, добавив к ней некоторый элемент e ∉ S {displaystyle e ot in S} и определив e s = s = s e   ∀ s ∈ S ∪ { e } ; {displaystyle es=s=se forall sin Scup {e};} полученный моноид обычно обозначается как S 1 {displaystyle S^{1}} .

Примеры полугрупп: натуральные числа с операцией сложения, множество всех отображений множества в себя с операцией композиции, множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации. Любая группа является также и полугруппой; Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.


полукольцо, моноид, частичное множество, эндоморфизм

Очевидно, что любая полугруппа преобразований S определяет моноид преобразований M, принимая объединение S с преобразованием тождества.

Множество всех преобразований на заданном базовом множестве вместе с композицией функций образует регулярную полугруппу.

Математические структуры с операцией сложения, но не с операцией вычитания, включают коммутативные полугруппы, коммутативные моноиды и полукольца.

Полугруппа не требует тождества и инверсий.

Характерной особенностью трансформационных полугрупп, как действий, является то, что они эффективны, т. е.

Полугруппа преобразования множества имеет тавтологическое действие полугруппы на это множество.

Несмотря на одинаковые результаты для любой полугруппы, асимптотическая эффективность будет отличаться.

Такие действия характеризуются тем, что они эффективны, т. е. если два элемента полугруппы имеют одинаковое действие, то они равны.